Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中線段AB與y軸垂直，其長度為2，AB的中點(diǎn)C在直線x+2y-4=0上，則tan∠AOB的最大值為$\frac{5\sqrt{3}+8}{11}$．

Answer 1

分析 如圖所示．由題意可設(shè)A（a，b），B（2+a，b），則線段AB的中點(diǎn)C（a+1，b）．由于AB的中點(diǎn)C在直線x+2y-4=0上，可得a+2b=3．分類討論：①當(dāng)a=0時(shí)，b=$\frac{3}{2}$．可得tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$．②當(dāng)a=-2時(shí)，b=$\frac{5}{2}$．可得tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$．③當(dāng)b=0時(shí)，a=3．可得tan∠AOB=0．④當(dāng)a≠0，-2且b≠0時(shí)，此時(shí)k_OA=$\frac{a}$，k_OB=$\frac{2+a}$．當(dāng)b＞0時(shí)，由到角公式得tan∠AOB=$\frac{2}{5b+\frac{15}-16}$．當(dāng)b＜0時(shí)，tan∠AOB=$\frac{2}{16-5b-\frac{15}}$．再利用基本不等式即可得出答案．

解答 解：如圖所示．
由題意可設(shè)A（a，b），B（2+a，b），則線段AB的中點(diǎn)C（a+1，b）．
∵AB的中點(diǎn)C在直線x+2y-4=0上，∴a+1+2b-4=0，化為a+2b=3．
①當(dāng)a=0時(shí)，b=$\frac{3}{2}$．此時(shí)A（0，$\frac{3}{2}$），B（2，$\frac{3}{2}$）．
可得tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}$．
②當(dāng)a=-2時(shí)，b=$\frac{5}{2}$．此時(shí)A（-2，$\frac{5}{2}$），B（0，$\frac{5}{2}$）．
可得tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$．
③當(dāng)b=0時(shí)，a=3．此時(shí)A（3，0），B（5，0）．
可得tan∠AOB=0．
④當(dāng)a≠0，-2且b≠0時(shí)，此時(shí)k_OA=$\frac{a}$，${k}_{OB}=\frac{2+a}$．
當(dāng)b＞0時(shí)，可得tan∠AOB=$\frac{{k}_{OA}-{k}_{OB}}{1+{k}_{OA}•{k}_{OB}}=\frac{\frac{a}-\frac{2+a}}{1+\frac{a}•\frac{2+a}}$=$\frac{2b}{a（2+a）+^{2}}=\frac{2b}{（3-2b）（5-2b）+^{2}}$=$\frac{2}{5b+\frac{15}-16}$．
tan∠AOB≤$\frac{2}{2\sqrt{5b•\frac{15}}-16}$=$\frac{1}{5\sqrt{3}-8}=\frac{5\sqrt{3}+8}{11}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{3}$，a=3-2$\sqrt{3}$時(shí)取等號．
當(dāng)b＜0時(shí)，tan∠AOB=$\frac{2}{16-5b-\frac{15}}$≤$\frac{1}{8+5\sqrt{3}}$．
綜上可知：只有當(dāng)a=3-2$\sqrt{3}$時(shí)，b=$\sqrt{3}$．可得tan∠AOB的最大值為$\frac{5\sqrt{3}+8}{11}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}+8}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線的斜率計(jì)算公式、到角公式、基本不等式，考查了分類討論和計(jì)算能力，屬于難題．