Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，滿足：Sn=2an-2n(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項和，求證：Tn≥

1

2

．

Answer 1

分析：（1）S_n=2a_n-2n①，n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②，①-②可得數(shù)列遞推式，通過變形可構(gòu)造一等比數(shù)列，求出該等比數(shù)列的通項公式，進而可得a_n；
（2）由（1）可求得b_n，從而可得

bn

an+2

，利用錯位相減法可求得T_n，通過作差可判斷{T_n}的單調(diào)性，由此可求得其最小值，從而可證明；

解答：（1）解：當(dāng)n∈N^*時，S_n=2a_n-2n①，則當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②，
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），∴

an+2

an-1+2

=2，
當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2，則a₁=2．
∴{a_n+2}是以a₁+2=4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴an+2=4•2n-1，∴an=2n+1-2；
（2）證明：bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

③，

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

…④，
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

n+3

2n+1

．
當(dāng)n≥2時，Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}為遞增數(shù)列，∴Tn≥T1=

1

2

．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列的求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力．