Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a等于3時(shí)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出端點(diǎn)值，比較極值和端點(diǎn)值的大小求得最值
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，觀察是否滿(mǎn)足存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，最后得出a的取值范圍，

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=-x³+3x²-4，f?（x）=-3x²+6x=-3x（x-2）．
當(dāng)x變化時(shí)，f?（x）、f（x）在區(qū)間的變化如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f?（x）		-	0	+
f（x）	0	↘	極小值-4	↗	-2

所以f（x）在區(qū)間上的最大值為f（-1）=0，最小值為f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f?（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2a

3

）．
若a≤0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f?（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使題設(shè)成立的x₀．
若a＞0，則當(dāng)x∈（0，

2a

3

）時(shí)，f?（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（

2a

3

，+∞）時(shí)，f?（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．f（x）在（0，+∞）的最大值為f（

2a

3

）=

4a3

27

-4．所以題設(shè)的x₀存在當(dāng)且僅當(dāng)

4a3

27

-4＞0，解得a＞3．
綜上，使題設(shè)成立的a的取值范圍是（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，解答過(guò)程中要注意畫(huà)圖表，先討論a的取值范圍在看是否滿(mǎn)足題目要求，最后要綜上所述．屬于簡(jiǎn)單題．