Question

16．在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD和BC的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$（x，y∈R），則2x+y=2；若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$（λ，μ∈R），則3λ+3μ=4．

Answer 1

分析 利用向量三角形法則、平行四邊形法則、平面向量基本定理即可得出．

解答 解：如圖所示，
①$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
與$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$（x，y∈R）比較可得：x=$\frac{1}{2}$，y=1．
則2x+y=2．
②由②可得：$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，
同理可得：$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{AF}$=λ（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）+μ（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$（λ+\frac{1}{2}μ）$$\overrightarrow{AD}$+$（\frac{1}{2}λ+μ）$$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$，
∴$λ+\frac{1}{2}μ$=1，$\frac{1}{2}λ+μ$=1．
則3λ+3μ=4．
故答案為：2，4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量三角形法則、平行四邊形法則、平面向量基本定理、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．