Question

已知函數，
（1）令a=1，求函數f（x）在x=2處的切線方程；
（2）若f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求在點x=2處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=2處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在[1，+∞）上是增函數可得到其導函數在[1，+∞）上大于等于0應該恒成立，再結合函數的性質可求得a的范圍．
解答：解：（1）與由
切線的斜率k=f'（2）=4切點坐標（2，5+ln2）
所求切線方程y-（5+ln2）=4（x-2）（5分）
（2）若函數為[1，+∞）上單調增函數，
則f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式在[1，+∞）上恒成立．
也即在[1，+∞）上恒成立
令，上述問題等價于a≥φ（x）_max
而為在[1，+∞）上的減函數，
則φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0為所求（12分）
點評：本題主要考查導數的運算和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．