Question

已知各項均不為零的數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）求證：對任意．

Answer 1

【答案】分析：（I）由2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+3，知2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），a_n+2-a_n=2，由此能求出a_n=n（n∈N⁺）．
（II）令，=．由（2n-1）•2n=（2n）²-2n=，知，由此能夠證明對任意．
解答：解：（I）由題設知2S_n=a_na_n+1，2S_n+1=a_n+1a_n+3，
∴2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n≠0，∴a_n+2-a_n=2，
∵a₁=1，a₂=2，
∴a_n=n（n∈N⁺）．
（II）令，

=．
∵（2n-1）•2n=（2n）²-2n=，
∴，
，，，
n≥4時，T_n=T₃+b₄+b₅+…+b_n

=，
∴對任意．
點評：第（I）題考查數列通項公式的求法，解題時要注意迭代法的合理運用；第（II）題考查數列與一不等式的綜合運用，解題時要注意裂項求和法和放縮法的合理運用．