Question

設二次函數(shù)，對任意實數(shù)，恒成立；正數(shù)數(shù)列滿足.

（1）求函數(shù)的解析式和值域；

（2）試寫出一個區(qū)間，使得當時，數(shù)列在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；

（3）若已知，求證：數(shù)列是等比數(shù)列

 

Answer 1

【答案】

解：（1）其值域為.…………4分

（2）解：當時，數(shù)列在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：

設，則，所以對一切，均有；………6分

，

從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.………8分

注：本題的區(qū)間也可以是、、等無窮多個.

另解：若數(shù)列在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則

即……6分

又當時，，所以對一切，均有且，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.

（3）證明略

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的解析式和值域以及函數(shù)單調性的運用，以及等比數(shù)列的定義的綜合問題。

（1）由恒成立等價于恒成立轉化為判別式的不等式得到參數(shù)k的值，進而求解。

（2）利用數(shù)列的單調性的定義，若數(shù)列在某個區(qū)間上是遞增數(shù)列，則

即

（3）由（2）知，從而，即得到數(shù)列的遞推關系，進而求解得到。