Question

已知函數(shù)f（x）=+ln
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和極值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a²-5a，8-3a]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）的圖象是否為中心對稱圖形？若是請指出對稱中心，并證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；
（2）利用（1）中的增區(qū)間，建立不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（1）知函數(shù)f（x）的圖象若是中心對稱圖形，則中心一定在兩極值點的中心（3，），設(shè)（x，y）是函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點，則是它關(guān)于（3，）的對稱點，證明也在函數(shù)f（x）的圖象上即可．
解答：解：（1）由題意，，解得x＜2或x＞4
∴函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，2）∪（4，+∞），
由得：x=0或x=6，所以

x	（-∞，0）		（0，2）	（4，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+		-	-		+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

∴
（2）由（1）知a²-5a＜8-3a≤0或6≤a²-5a＜8-3a，所以或-2＜a≤-1
（3）由（1）知函數(shù)f（x）的圖象若是中心對稱圖形，則中心一定在兩極值點的中心（3，），下面證明：
設(shè)（x，y）是函數(shù)f（x）的圖象上的任意一點，則是它關(guān)于（3，）的對稱點，而，即也在函數(shù)f（x）的圖象上．
所以函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形，其中心是（3，）．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的對稱性，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．