如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,高0.5米,CD=2a(a>)米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S=f(x);
(2)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.

【答案】分析:(1)如圖當通風窗在CD下方時,即時,由平面幾何知識,得,可得MN=2(2a-1)x+1,再由三角形面積公式建立面積模型.當通風窗在CD的上方時,即時,則MN=,再由三角形面積公式建立面積模型.,
(2)根據(jù)分段函數(shù),分別求得每段上的最大值,最后取它們當中最大的,即為原函數(shù)的最大值,并明確取值的狀態(tài),從而得到實際問題的建設方案.
解答:解:(1)當時,由平面幾何知識,得
∴MN=2(2a-1)x+1,
∴S=f(x)=.(3分)
時,
=,
(5分)
(2)當時,S=f(x)=
,
,

,當x=0時,
②a>1,當時,.(7分)
時,
==,
等號成立??
時,.(10分)
時,∵,
時.當x=0,,時,
,.(12分)
a>1時,
時,
綜上,時,當x=0時,,
即MN與AB之間的距離為0米時,三角通風窗EMN的通風面積最大,最大面積為平方米.時,
時,,即MN與AB之間的距離為米時,
三角通風窗EMN的通風面積最大,最大面積為平方米.(16分)
點評:本題主要考查函數(shù)模型的建立與應用,主要涉及了平面圖形中的相似比,三角形面積公式,分段函數(shù)求最值以及二次函數(shù)法,基本不等式法,作差法等解題方法.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,高0.5米,CD=2a(a>
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)米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S=f(x);
(2)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2009•普陀區(qū)二模)某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是個半圓,固定點E為CD的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿(MN和AB、DC不重合).
(1)當MN和AB之間的距離為1米時,求此時三角通風窗EMN的通風面積;
(2)設MN與AB之間的距離為x米,試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù)S=f(x);
(3)當MN與AB之間的距離為多少米時,三角通風窗EMN的通風面積最大?并求出這個最大面積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是正方形,其中AB=2米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)設MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關于x的函數(shù);
(2)求△EMN的面積S(平方米)的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年上海華師大一附中高三第二學期開學檢測試題數(shù)學 題型:解答題

(本題滿分14分) 本題共有2個小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分.

如圖所示的自動通風設施.該設施的下部是等腰梯形,其中米,梯形的高為米,米,上部是個半圓,固定點的中點.△是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿.

(1)設之間的距離為米,試將三角通風窗的通風面積(平方米)表示成關于的函數(shù);

(2)當之間的距離為多少米時,三角通風窗的通風面積最大?并求出這個最大面積。

 

 

 

 

 

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