Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，AB=2，BC=1，設AE與平面ABC所成的角為θ，且tanθ=

3

2

，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐C-ABE的體積；
（2）證明：平面ACD⊥平面ADE；
（3）在CD上是否存在一點M，使得MO∥平面ADE？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）求三棱錐C-ABE的體積，轉化為求E-ABC的體積，求出底面面積，即可解答本題．
（2）要證明：平面ACD⊥平面ADE，只需證明DE⊥平面ADC，先證DE垂直AC和DC即可．
（3）點M為DC的中點，使得MO∥平面ADE，取BE的中點N，連MO、MN、NO，證明平面MNO∥平面ADE，即可．

解答：解：（1）∵四邊形DCBE為平行四邊形∴CD∥BE
∵DC⊥平面ABC∴BE⊥平面ABC
∴∠EAB為AE與平面ABC所成的角，
即∠EAB=θ
在Rt△ABE中，由tanθ=

BE

AB

=

3

2

，
AB=2得BE=

3

∵AB是圓O的直徑∴BC⊥AC
∴AC=

AB2-BC2

=

3

∴S△ABC=

1

2

AC•BC=

3

2

∴VC-ABE=VE-ABC=

1

3

S△ABC• BE=

1

3

×

3

2

×

3

=

1

2

（2）證明：∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC∴DC⊥BC．（6分）
∵BC⊥AC且DC∩AC=C∴BC⊥平面ADC、
∵DE∥BC∴DE⊥平面ADC
又∵DE?平面ADE∴平面ACD⊥平面ADE；

（3）在CD上存在點M，使得MO∥平面ADE，該點M為DC的中點．
證明如下：如圖，取BE的中點N，連MO、MN、NO，
∵M、N、O分別為CD、BE、AB的中點，
∴．MN∥DE
∵DE?平面ADE，MN不在平面ADE，
∴MN∥平面ADE
同理可得NO∥平面ADE．
∵MN∩NO=N，∴平面MNO∥平面ADE．
∵MO?平面MNO，∴MO∥平面ADE．

點評：本題考查棱錐的體積，只需與平面平行與垂直的證明，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．