Question

19．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow$=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為銳角，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平行與坐標的關(guān)系列方程解出x，得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標，再計算$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標，再計算|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|；
（2）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$得出x的范圍，再去掉$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$同向的情況即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，∴-x-x（2x+3）=0，解得x=0或x=-2．
當x=0時，$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（3，0），∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（-2，0），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2．
當x=-2時，$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（-1，2），∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（2，-4），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2$\sqrt{5}$．
綜上，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2或2$\sqrt{5}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為銳角，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，
∴2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3．
又當x=0時，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，
∴x的取值范圍是（-1，0）∪（0，3）．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算，數(shù)量積運算，向量平行與坐標的關(guān)系，屬于中檔題．