Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：

                             

（Ⅰ）求點P的軌跡方程;

（Ⅱ）設d為點P到直線l： 的距離，若,求的值.

Answer 1

解：（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線.

因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=,

所以雙曲線的方程為x²-=1.

（II）解法一：

由（I）及下圖，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,       ①

知|PM|>|PN|,故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2.     ②

將②代入①，得2|PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,

所以|PN|=.

因為雙曲線的離心率e==2,直線l: x=是雙曲線的右準線，故=e=2,

所以d=|PN|,因此

解法二：

設P（x, y），因|PN|1知|PM|=2|PN|²2|PN|>|PN|,

故P在雙曲線右支上，所以x1.

由雙曲線方程有y²=3x²-3.

因此

從而由|PM|=2|PN|²得

2x+1=2（4x²-4x+1），即8x²-10x+1=0.

所以x=（舍去x=）.

有|PM|=2x+1=

d=x-=.

故