【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2tx在區(qū)間[﹣1,5]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x+m有區(qū)間(﹣1,2)上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(注:相等的實(shí)數(shù)根算一個(gè)).
【答案】
(1)解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
代入f(x+1)﹣f(x)=2x得2ax+a+b=2x對于x∈R恒成立,
故
又由f(0)=1得c=1,
解得a=1,b=﹣1,c=1,
所以f(x)=x2﹣x+1
(2)解:因?yàn)間(x)=f(x)﹣2tx=x2﹣(2t+1)x+1的圖象關(guān)于直線x= 對稱,
又函數(shù)g(x)在[﹣1,5]上是單調(diào)函數(shù),故 ≤﹣1或 ,
解得t≤ 或
故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(﹣∞, ]∪[ ,+∞)
(3)解:由方程f(x)=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0,
令h(x)=x2﹣2x+1﹣m,x∈(﹣1,2),即要求函數(shù)h(x)在(﹣1,2)上有唯一的零點(diǎn),…(11分)
①若h(﹣1)=0,則m=4,代入原方程得x=﹣1或3,不合題意;
②若h(2)=0,則m=1,代入原方程得x=0或2,滿足題意,故m=1成立;
③若△=0,則m=0,代入原方程得x=1,滿足題意,故m=0成立;
④若m≠4且m≠1且m≠0時(shí),由 得1<m<4.
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是{0}∪[1,4)
【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1,利用待定系數(shù)法,可得f(x)的解析式;(2)由g(x)=f(x)﹣2tx=x2﹣(2t+1)x+1的圖象關(guān)于直線x= 對稱,結(jié)合函數(shù)g(x)在[﹣1,5]上是單調(diào)函數(shù),可得 ≤﹣1或 ,解得實(shí)數(shù)t的取值范圍;(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x+m有區(qū)間(﹣1,2)上有唯一實(shí)數(shù)根,則函數(shù)h(x)在(﹣1,2)上有唯一的零點(diǎn),分類討論,可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年“十一”期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段: , , , , , ,后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值;
(2)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛恰有一輛的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga(x2﹣2),若f(2)=1
(1)求a的值;
(2)求f(3 )的值;
(3)解不等式f(x)<f(x+2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), , ,
(1)求證:函數(shù)在點(diǎn)處的切線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),求證:在區(qū)間上,滿足恒成立的函數(shù)有無窮多個(gè).(記)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體的棱長為1,B'C∩BC'=O,則AO與A'C'所成角的度數(shù)為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對任意實(shí)數(shù)m,n,都有f(m)f(n)=f(m+n),且當(dāng)x<0時(shí),0<f(x)<1.
(1)證明:①f(0)=1;②當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1;③f(x)是R上的增函數(shù);
(2)設(shè)a∈R,試解關(guān)于x的不等式f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)≤1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(Ⅱ)若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=a有四個(gè)不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 則x3(x1+x2)+ 的取值范圍是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿場售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系如圖一的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系如圖二的拋物線段表示.
(1)寫出圖一表示的市場售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式p=f(t);寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t);
(2)認(rèn)定市場售價(jià)減去種植成本為純收益,問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大?(注:市場售價(jià)各種植成本的單位:元/102㎏,時(shí)間單位:天)
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