Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列b_n滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和，求T_n
（3）（只理科作）接（2）中的T_n，求證：T_n≥

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n與a_n的關(guān)系S_n=2a_n-2n利用仿寫的方法消去S_n^得到a_n+2=2（a_n-1+2），再利用等比數(shù)列的定義求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）由（1）得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ⁺¹-2所以b_n=n+1∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

利用錯(cuò)位相減可得∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）利用Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0證明T_n是遞增數(shù)列，求其最小值即可．

解答：解：（1）當(dāng)n∈N₊時(shí)，S_n=2a_n-2n，
則當(dāng)n≥2，n∈N₊時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
         ①-②，a_n=2a_n-2a_n-1-2，a_n=2a_n-1+2
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，n=1時(shí)   S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴{a_n+2}是a₁+2=4為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）證明b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則Tn=

2

22

+

3

23

 +…+

n+1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

④
③-④，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

- 

n+1

2n+1

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

- 

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）n≥2時(shí)Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}為遞增數(shù)列
∴Tn的最小值是T1=

1

2

∴Tn≥

1

2

點(diǎn)評：本題考查S_n與a_n以及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，求通項(xiàng)與求和是高考的熱點(diǎn)，數(shù)列與不等式相結(jié)合的綜合題也是�？純�(nèi)容，此類問題多與數(shù)列的單調(diào)性相關(guān)．