在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線(xiàn)分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1) ; (2)定值是4,詳見(jiàn)解析;
(3)存在, 的坐標(biāo)為,的面積為.

解析試題分析：(1)根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、離心率和的關(guān)系求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的;(2)先設(shè)，求出直線(xiàn)的方程，并求出它們與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，建立三點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，然后利用在橢圓上，從而把中的消去得到定值; (3)先假設(shè)存在點(diǎn)，則有直線(xiàn)與圓相交，進(jìn)而寫(xiě)出的面積函數(shù)，發(fā)現(xiàn)利用基本不等式可以求出函數(shù)的最大值，故假設(shè)存在,再求出取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析：解：（1）由題意：，解得：             3分
所以橢圓                                4分
(2) 由（1）可知,設(shè),              
直線(xiàn):,令,得;              5分
直線(xiàn):,令,得;              6分
則,                          7分
而,所以,
所以             8分
(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，則，即
設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，且    9分
所以             10分
所以       11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/25/2/1vz1g4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以
所以  12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值
由，解得       13分
所以存在點(diǎn)滿(mǎn)足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為

此時(shí)的面積為                   14分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，、2解析法，3、直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；
（2）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:  (a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若斜率為k的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M(2,0),且與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn).試探討k為何值時(shí),三角形OAB為直角三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓.
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)作不與軸垂直的直線(xiàn)交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)。試判斷的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F1作與x軸不重合的直線(xiàn)l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的離心率滿(mǎn)足,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證為鈍角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù)，它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)，使得向量，若存在，指出這樣的直線(xiàn)有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，
以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
⑴ 求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；
⑵ 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)和相交于、兩點(diǎn)，求以線(xiàn)段為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程.

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