Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù) 在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．

（2）

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．

（i）當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；

（ii）當(dāng)a＜0時 ．

當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）		極小值

由上表可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ；

單調(diào)遞增區(qū)間是 ．

（3）

由 得 ，

由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，

則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，

即 在[1，2]上恒成立．

即 在[1，2]上恒成立．

令 ，在[1，2]上 ，

所以h（x）在[1，2]為減函數(shù). ，

所以

【解析】（Ⅰ）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，需要判斷導(dǎo)數(shù) 的正負(fù)，分類討論：分（1）當(dāng)a≥0時，（2）當(dāng)a＜0時兩種情況分別求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即 在[1，2]上恒成立，要求a的范圍，只要求解 ，在[1，2]上的最小值即可
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．