Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

求證：PC⊥BC；

求點A到平面PBC的距離。

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析（2）.

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的點線面的位置關(guān)系的綜合運用。線線垂直的判定和點到面的距離的求解。

（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。 因為PC平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：

易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。

又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。

（方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。

因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

從而AB=2，BC=1，得的面積。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。

因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積。

由，，得h=，  故點A到平面PBC的距離等于。