Question

設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對(duì)?x₁、x₂∈（a，b），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對(duì)?k∈R3，f（x）=x²+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對(duì)?x₁、x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

Answer 1

解：（1）?x₁、x₂∈（-1，1），|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k|×|x₁-x₂|（1分）．
若k≥0，則當(dāng)x₁、時(shí)，x₁+x₂+k＞（12分），從而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|（3分）；
若k＜0，則當(dāng)x₁、時(shí)，x₁+x₂+k＜-1，|x₁+x₂+k|＞1（4分），
從而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，所以對(duì)任意常數(shù)k，f（x）=x²+kx+1都不是區(qū)間（-1，1）上的平緩函數(shù)（5分）．
（2）若x₁、x₂∈[0，2]，①當(dāng)|x₁-x₂|≤1時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|≤1（6分）；
②當(dāng)|x₁-x₂|＞1時(shí)，不妨設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，根據(jù)f（x）的周期性，f（0）=f（2）（7分），
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（2）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（2）-f（x₂）|
≤|x₁|+|2-x₂|=x₁+2-x₂=2-（x₂-x₁）＜1（11分），
所以對(duì)?x₁、x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1（12分）．
對(duì)?x₁、x₂∈R，根據(jù)f（x）的周期性（且T=2），存在p₁、p₂∈[0，2]，
使f（x₁）=f（p₁）、f（x₂）=f（p₂），從而|f（x₁）-f（x₂）|=|f（p₁）-f（p₂）|≤1（17分）．
分析：（1）新定義函數(shù)類型的題目，解答時(shí)要先充分理解定義才能答題，對(duì)于（1）只需按照定義作差：|f（x₁）-f（x₂）|，然后尋求條件：|x₁+x₂+k|≤1，（2）的解答稍微復(fù)雜一些，此處除了用到放縮外，還有添項(xiàng)減項(xiàng)的技巧應(yīng)用即對(duì)已知條件f（0）=f（2）的充分利用．
點(diǎn)評(píng)：本題抽象函數(shù)、新定義函數(shù)類型的概念，不等式的性質(zhì)，放縮法的技巧，對(duì)于新定義類型問(wèn)題，在解答時(shí)要先充分理解定義才能答題，避免盲目下筆，遇到困難才來(lái)重頭讀題，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，另外要在充分抓住定義的基礎(chǔ)上，對(duì)式子的處理要靈活，各個(gè)式子的內(nèi)在聯(lián)系要充分挖掘出來(lái)，可現(xiàn)有結(jié)論向上追溯，看看需要哪些條件才能得出結(jié)果，再來(lái)尋求轉(zhuǎn)化取得這些條件．屬中檔題．