已知四棱錐P-ABCD中，P在底面的射影O是四邊形ABCD內(nèi)切圓的圓心，給定的四個命題：
①各側(cè)面和底面所成的二面角相等；
②點(diǎn)O到各側(cè)面的距離相等；
③側(cè)棱PA=PB=PC=PD；
④△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積之比是AB：BC：CD：DA．
其中正確的是


  1. A.
    ①②③
  2. B.
    ②③④
  3. C.
    ①②④
  4. D.
    ①③④
C
分析：根據(jù)三垂線定理，過O作底面四邊形各邊的垂線，連接頂點(diǎn)與各垂足，可得二面角的平面角與各側(cè)面的垂面，然后在Rt△POM中解決即可．
解答：解：根據(jù)三垂線定理作各側(cè)面與底面所成二面角的平面角，
∵P在底面的射影O到四邊形各邊的距離相等，∴二面角的正切值都是，故①正確；
在△POM中，過O作ON⊥PM于N，∵平面POM⊥側(cè)面，所以O(shè)N為O到側(cè)面的距離，∴O到各側(cè)面的距離相等，故②正確；
∵O到各頂點(diǎn)的距離不一定相等，所以側(cè)棱不一定相等，故③不正確；
∵S△PAB=×AB×PM（斜高），∵斜高都相等，∴面積比=底邊長之比，故④正確．
故選C
點(diǎn)評：本題借助考查命題的真假判斷，考查空間中二面角的求法．根據(jù)二面角的定義可用三垂線定理作二面角的平面角．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點(diǎn)，AE與BD交于O點(diǎn)，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點(diǎn)，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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