Question

已知B₂，B₁分別是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的上，下頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的右焦點(diǎn)，F(xiàn)B₁=2，F(xiàn)到C的左準(zhǔn)線(xiàn)的距離是

7 3

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P是C上與B₁，B₂不重合的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)B₁P，B₂P與x軸分別交于點(diǎn)M，N．求證：

OM

•

ON

是定值．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)方程，如圖可得BF1=a=2，c+

a2

c

=

7 3

3

，進(jìn)而求得a，b和c，進(jìn)而可得橢圓的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）進(jìn)而可得直線(xiàn)p和p的方程，令y=0，分別求得M和N的坐標(biāo)．代入

OM

•

ON

根據(jù)x₀和y₀的關(guān)系求得

OM

•

ON

為4，原式得證

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得，BF1=a=2，c+

a2

c

=

7 3

3

，
所以a=2，c=

3

，b=1．
所以所求的橢圓方程為

x2

4

+y2=1．

（2）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠0），直線(xiàn)B1P：

y+1

y0+1

=

x

x0

．
令y=0得x=

x0

y0+1

，即M(

x0

y0+1

，0)（

x0

y0+1

，0）．
直線(xiàn)B2P：

y-1

y0-1

=

x

x0

，令y=0得x=-

x0

y0-1

，
即N(-

x0

y0-1

，0)，∴

OM

•

ON

=-

x 2 0

y 2 0 -1

．
∵

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，
∴1-

y

2 0

=

x 2 0

4

，
∴

OM

•

ON

=-

x 2 0

y 2 0 -1

=4．
即

OM

•

ON

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和平面向量的知識(shí)點(diǎn)．屬基礎(chǔ)題．