Question

設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離之差為2m，到x、y軸的距離之比為2，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），然后由點(diǎn)P到x、y軸的距離之比為2得一元一次方程，再由點(diǎn)P到點(diǎn)（-1，0）、（1，0）距離之差為2m，滿足雙曲線定義，則得其標(biāo)準(zhǔn)方程，最后處理方程組通過x²求得m的取值范圍．
解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題設(shè)得，即y=±2x，x≠0
因此，點(diǎn)P（x，y）、M（-1，0）、N（1，0）三點(diǎn)不共線，得||PM|-|PN||＜|MN|=2
∵||PM|-|PN||=2|m|＞0
∴0＜|m|＜1
因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2|m|的雙曲線上，故．
將y=±2x代入，并解得≥0，
因?yàn)?-m²＞0，所以1-5m²＞0，
解得，
即m的取值范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線定義及代數(shù)運(yùn)算能力．