Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=x_n-$\frac{f（{x}_{n}）}{f′（{x}_{n}）}$，設(shè)a_n=ln$\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$，若a₁=$\frac{1}{2}$，x_n＞2，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-2（n∈N*）．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=a（x-1）（x-2），求出導(dǎo)數(shù)，可得x_n+1=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，求得a_n+1=ln$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}$=2ln$\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$=2a_n，運用等比數(shù)列的通項公式即可得到所求．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有兩個零點1，2，
可得f（x）=a（x-1）（x-2），
f′（x）=a（2x-3），
則x_n+1=x_n-$\frac{f（{x}_{n}）}{f′（{x}_{n}）}$=x_n-$\frac{a（{x}_{n}-1）（{x}_{n}-2）}{a（2{x}_{n}-3）}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-2}{2{x}_{n}-3}$，
由a₁=$\frac{1}{2}$，x_n＞2，
則a_n+1=ln$\frac{{x}_{n+1}-2}{{x}_{n+1}-1}$=ln$\frac{（{x}_{n}-2）^{2}}{（{x}_{n}-1）^{2}}$=2ln$\frac{{x}_{n}-2}{{x}_{n}-1}$=2a_n，
即有a_n=a₁q^n-1=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2．
故答案為：2^n-2（n∈N*）．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用化簡變形，以及等比數(shù)列的定義和通項公式，考查二次函數(shù)的解析式的求法和零點的定義，考查運算能力，屬于中檔題．