Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=3a_n+2；數列{b_n}，其中b_n=a_n+1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設c_n=（2n-1）b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），可判斷{a_n+1}為等比數列，可求得a_n+1，進而可得a_n；
（2）分組后分別用等比數列、等差數列求和公式即可求得S_n；
（3）由（1）先求得b_n，進而可得c_n，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+2得，a_n+1+1=3（a_n+1），
所以{a_n+1}為以a₁+1為首項、3為公比的等比數列，
所以a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
故a_n=3ⁿ-1；
（2）由（1）得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=（3-1）+（3²-1）+…+（3ⁿ-1）
=（3+3²+…+3ⁿ）-n
=

3(1-3n)

1-3

-n=

1

2

•3n+1-n-

3

2

；
（3）b_n=a_n+1=3ⁿ，所以c_n=（2n-1）b_n=（2n-1）3ⁿ，
所以T_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）3ⁿ①，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）3ⁿ⁺¹②，
①-②得，-2T_n=3+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+

2•32(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=2（1-n）•3ⁿ⁺¹-6，
所以T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

點評：本題考查遞推公式、等差數列與等比數列的綜合及數列求和問題，考查錯位相減法求數列的前n項和，屬中檔題．