Question

已知函數(shù)，，其中的函數(shù)圖象在點處的切線平行于軸．
（1）確定與的關(guān)系；    （2）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點（）證明：.

Answer 1

（1）；（2）當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．（3）詳見解析。

試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，即可得與的關(guān)系。（2）先求導(dǎo)數(shù)，及其零點，判斷導(dǎo)數(shù)符號，即可得原函數(shù)增減變化，注意分類討論。（3）由可得。然后分別證明不等式的左右兩側(cè)，兩側(cè)不等式的證明均需構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明。
試題解析：解：（1）依題意得，則
由函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴                                              4分
（2）由（1）得
∵函數(shù)的定義域為 
①當時，
由得，由得，
即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
②當時，令得或，
若，即時，由得或，由得，
即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若，即時，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若，即時，在上恒有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.  
綜上得：當時，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．
9分
（3）依題意得，證，即證
因，即證. 令（），即證（）
令（）,則
∴在（1，+）上單調(diào)遞增，
∴=0，即（）①
再令m(t)="lnt" t+1,= 1<0, m(t)在（1，+∞）遞減，
∴m(t)<m(1)=0，即lnt<t 1  ②
綜合①②得（），即．            14分