Question

求二項式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開式中：
（1）常數(shù)項；
（2）奇數(shù)項二項式系數(shù)之和；
（3）各項系數(shù)之和；
（4）有幾個有理項．

Answer 1

分析：（1）求出二項式的展開式的通項為Tr+1=(-2)r

C

r 15

x5-

5r

6

，令x的指數(shù)為0，求出常數(shù)項．
（2）根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)，得奇數(shù)項二項式系數(shù)之和．
（3）令二項式中的x=1得到各項系數(shù)之和為-1；
（4）項為有理項，需5-

5r

6

為整數(shù)，所以r為6的倍數(shù)，得到r的取值即有理項的項數(shù)．

解答：解：（1）展開式的通項為Tr+1=(-2)r

C

r 15

x5-

5r

6

，
令5-

5r

6

=0得r=6，
即常數(shù)項為T₇=2⁶C₁₅⁶，
（2）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得
奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為2^n-1=2¹⁴
（3）令二項式中的x=1得到各項系數(shù)之和為-1；
（4）項為有理項，需5-

5r

6

為整數(shù)，
所以r為6的倍數(shù)，
所以r可取0，6，12三個數(shù)，故共有3個有理項．

點評：本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具；考查二項式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的中間項的二項式系數(shù)最大及展開式的二項式系數(shù)和為2ⁿ．