Question

8、若曲線f（x）=x⁴-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

A、（-1，2）

B、（1，-3）

C、（1，0）

D、（1，5）

Answer 1

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由曲線在點(diǎn)P的切線與已知直線平行，得到斜率相等，先根據(jù)已知直線的方程求出已知直線的斜率即為曲線上過點(diǎn)P切線方程的斜率，即為導(dǎo)函數(shù)在x=a時的函數(shù)值，把x=a代入導(dǎo)函數(shù)表示出函數(shù)值，讓其等于切線方程的斜率列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a(bǔ)的值代入f（x）中即可得到b的值，根據(jù)求出的a與b的值寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
由f（x）=x⁴-x，得到f′（x）=4x³-1，
因為曲線上過P的切線與直線3x-y=0平行，
所以過點(diǎn)P的切線的斜率k等于直線3x-y=0的斜率，即k=3，
則f′（a）=4a³-1=3，解得a=1，
把a(bǔ)=1代入得：f（1）=0，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）．
故選C

點(diǎn)評：此題要求學(xué)生掌握兩直線平行時斜率相等，會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道中檔題．