Question

5．（文科）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，在x軸上，長(zhǎng)軸A₁A₂的長(zhǎng)為4，x軸上一點(diǎn)M（${-\frac{a^2}{c}，0}$），$|{\overrightarrow{M{A_1}}}|$=$2|{\overrightarrow{{A_1}{F_1}}}|$．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)左焦點(diǎn)F₁且斜率為1的直線l與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求△OCD的面積．

Answer 1

分析 （1）利用長(zhǎng)軸A₁A₂的長(zhǎng)為4，x軸上一點(diǎn)M（${-\frac{a^2}{c}，0}$），$|{\overrightarrow{M{A_1}}}|$=$2|{\overrightarrow{{A_1}{F_1}}}|$，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）把直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出|y₁-y₂|的值，即可求△OCD的面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則|$\overrightarrow{M{A}_{1}}$|=$\frac{{a}^{2}}{c}$-a，|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{1}}$|=a-c，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{c}-a=2（a-c）}\\{2a=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由題意，直線l的方程為x-y+1=0，設(shè)C（x₁，y₁ ），D（x₂，y₂），
直線方程代入橢圓方程整理得7y²-6y-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6}{7}$，y₁y₂=-$\frac{9}{7}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（\frac{6}{7}）^{2}+\frac{36}{7}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}×1×\frac{12\sqrt{2}}{7}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．