Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是

1

3

，每次測(cè)試通過(guò)與否相互獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒有通過(guò)測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試．
（1）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；
（2）如果考上大學(xué)或參加完5次考試就結(jié)束，求該生至少參加四次考試的概率．

Answer 1

分析：（1）記“該生考上大學(xué)”的事件為A，其對(duì)立事件為

.

A

，直接求P（A）比較困難，于是通過(guò)求1-P（

.

A

）來(lái)得到P（A）的值．
（2）記“該生參加測(cè)試的次數(shù)”為ξ，求出P（ξ=4）和P（ξ=5）的值，相加即得所求．

解答：解：（1）記“該生考上大學(xué)”的事件為A，其對(duì)立事件為

.

A

，
則P(

.

A

)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

112

243

，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

112

243

=

131

243

．…（6分）
（2）記“該生參加測(cè)試的次數(shù)”為ξ，則ξ=4說(shuō)明前3次考試只通過(guò)了1次，而第4次通過(guò)了，或前4次都沒有通過(guò)，
故 P(ξ=4)=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2(

1

3

)+(

2

3

)4=

4

27

+

16

81

=

28

81

，
ξ=5說(shuō)明前4次考試只通過(guò)了1次，，故 P(ξ=5)=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
∴該生至少參加四次考試的概率P=

28

81

+

32

81

=

20

27

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，互斥事件的概率加法公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．