Question

已知函數(shù)f（x）=+a|x|，a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=1，x∈[-1，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)m、n是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足m＜n，若函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（m，n），且n-m≤，求a的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)y=f（x）
（1）a=1時(shí)，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，為增函數(shù)，y的取值范圍為（1，1+
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，
令，∴x=t²-1
∴，
∴y的取值范圍為
∵
∴當(dāng)a=1，x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，1+
（2）令，
∴x=t²-a，t≥0，y=g（t）=t+a|t²-a|
①a=0時(shí)，無單調(diào)減區(qū)間
②a＜0時(shí)，y=g（t）=at²+t-a²，t在上g（t）是減函數(shù)，
∴x在上f（x）是減函數(shù)
∴a＜0不成立
③a＞0時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在t上，g（t）是減函數(shù)，即時(shí)，f（x）是減函數(shù)
∴
∴（a-2）（16a²+a+2）≤0
∴a≤2
∴a的取值范圍為
分析：（1）設(shè)y=f（x），a=1時(shí)，，將絕對(duì)值符號(hào)化去，分類討論當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，，分別求出它們函數(shù)值的取值范圍，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）令，則y=g（t）=t+a|t²-a|，分類討論：①a=0時(shí)，無單調(diào)減區(qū)間；②a＜0時(shí)，x在上f（x）是減函數(shù)；③a＞0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在t上，g（t）是減函數(shù)，即時(shí)，f（x）是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（m，n），且n-m≤，可求a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．