Question

某旅游景區(qū)的觀景臺(tái)P位于高（山頂?shù)缴侥_水平面M的垂直高度PO）為2Km的山峰上，山腳下有一段位于水平線上筆直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB為等腰三角形．山坡面與腳所在水平面M所成的二面角為α（0°＜α＜90°），且sinα=

2

5

．現(xiàn)從山腳的公路AB某處C₀開(kāi)始修建與公路AB成β角的盤(pán)山公路C₀C₁，C₁C₂，C₂C₃，…C_n-1C_n（如圖所示）．其中0＜β＜90°，sinβ=

1

4

（1）試問(wèn)：垂直高度每升高100米，盤(pán)山公路需修建多長(zhǎng)？若修建盤(pán)山公路至半山腰（高度為山高的一半），在半山腰的中心Q處修建上山纜車索道站，索道PQ依山而建（與山坡面平行，離坡面高度忽略不計(jì)），問(wèn)盤(pán)山公路的長(zhǎng)度和索道的長(zhǎng)度各是多少？
（2）若修建盤(pán)山公路為xKm，其造價(jià)為

x2+100

 a萬(wàn)元．而修建索道的造價(jià)為2

2

a元/Km．
問(wèn)修建盤(pán)山公路至多高時(shí)，再修建上山索道至觀景臺(tái)，總造價(jià)最少．

Answer 1

分析：（1）在盤(pán)山公路上取一個(gè)點(diǎn)，作出該點(diǎn)到平面的垂線，再利用三垂線定理作出二面角棱的垂線，連接兩個(gè)垂足，最后結(jié)合直角三角形內(nèi)三角函數(shù)的定義可求出索道長(zhǎng)與山高的倍數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論；
（2）設(shè)盤(pán)山公路修至山高的距離為x，在（1）的條件下，結(jié)合勾股定理建立關(guān)于x的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得出此函數(shù)是先減后增的函數(shù)，極小值即為函數(shù)的最小值，從而得出最少總價(jià)對(duì)應(yīng)的x．

解答：解（1）在盤(pán)山公路C₀C₁上任選一點(diǎn)D，作DE⊥平面M交平面M于E，過(guò)E作EF⊥AB交AB于F，
連接DF，易知DF⊥C₀F．sin∠DFE=

2

5

，sin∠DC₀F=

1

4

∵DF=

1

4

C₀D，DE=

2

5

DF，∴DE=

1

10

C₀D
所以盤(pán)山公路長(zhǎng)度是山高的10倍，索道長(zhǎng)是山高的

5

2

倍．所以垂直高度每升高100米，盤(pán)山公路需修建1000米．
從山腳至半山腰，盤(pán)山公路為10Km．從半山腰至山頂，索道長(zhǎng)2.5Km．（6分）
（2）設(shè)盤(pán)山公路修至山高x（0＜x＜2）Km，則盤(pán)山公路長(zhǎng)為10x，索道長(zhǎng)

5

2

(2-x)．
設(shè)總造價(jià)為y萬(wàn)元，則y=

(10x)2+100

 a+

5

2

(2-x)•2

2

a
=（10

x2+1

-5

2

x）a+10

2

a
令y′=

10x

x2+1

-5

2

=0，則x=1
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)y′＜0，函數(shù)y單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（1、2）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y單調(diào)遞增
∴x=1，y有最小值，即修建盤(pán)山公路′至山高1Km時(shí)，總造價(jià)最小．（13分）

點(diǎn)評(píng)：第一小問(wèn)利用三垂線定理作輔助線，解決立體幾何中與二面角有關(guān)的問(wèn)題，是立幾中常見(jiàn)的思路；第二小問(wèn)處理帶根號(hào)式子的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，不失為一個(gè)很好的工具．