Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+3，則通項(xiàng)a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=2S_n+3，n=1時(shí)，a₂=2a₁+3=5．n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+3，相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列．利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=2S_n+3，
∴n=1時(shí)，a₂=2a₁+3=5．
n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+3，相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列．
a_n=5×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．