已知動圓M過定點F（2，0），且與直線x=-2相切，動圓圓心M的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程
（2）若過F（2，0）且斜率為1的直線與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|

解：（1）依題意知動圓圓心M的軌跡為以F（2，0）為焦點的拋物線，其方程為 y2=8x…（6分）
（2）依題意直線AB的方程為y=x-2，…（8分）
代入方程y2=8x得x2-12x+4=0，得 x1+x2=12 …（10分）
故|AB|=x1+x2+4=16．…（12分）
分析：（1）由動圓M過定點F（2，0），且與直線x=-2相切可知動圓圓心M的軌跡為拋物線；
（2）求得過F（2，0）且斜率為1的直線方程，與（1）所求得曲線聯(lián)立，用過拋物線焦點的弦長公式即可．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，著重考查拋物線的定義與標注方程，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知動圓M過定點F（2，0），且與直線x=-2相切，動圓圓心M的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程
（2）若過F（2，0）且斜率為1的直線與曲線C相交于A，B兩點，求|AB|

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知動圓M過定點F（0，-
2
），且與直線y=
2
相切，橢圓N的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F，點A（1，
2
）在橢圓N上．
（1）求動圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程；
（2）若動直線l與軌跡Γ在x=-4處的切線平行，且直線l與橢圓N交于B，C兩點，試求當△ABC面積取到最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳二模）如圖，已知動圓M過定點F（0，1）且與x軸相切，點F關(guān)于圓心M的對稱點為F′，動點F′的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)A（x0，y0）是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的距離最大，求點B的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省深圳市高三下學期第二次調(diào)研考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖6，已知動圓M過定點F（1,0）且與x軸相切，點F 關(guān)于圓心M 的對稱點為 F'，動點F’的軌跡為C．

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P 、Q．

①證明：直線PQ的斜率為定值；

②記曲線C位于P 、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的

距離最大，求點B的坐標．

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓M過定點F（0，-數(shù)學公式），且與直線y=數(shù)學公式相切，橢圓N的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F，點A（1，數(shù)學公式）在橢圓N上．
（1）求動圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程；
（2）若動直線l與軌跡Γ在x=-4處的切線平行，且直線l與橢圓N交于B，C兩點，試求當△ABC面積取到最大值時直線l的方程．

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