已知函數(shù)f(x)=ax+
x-2
x+1
（a＞1），求證：
（1）函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）方程f（x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．
證明：（1）設(shè)-1＜x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=ax1+
x1-2
x1+1
-ax2-
x2-2
x2+1

=ax1-ax2+
x1-2
x1+1
-
x2-2
x2+1
=ax1-ax2+
3(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)
，
∵-1＜x1＜x2，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＜0，
∴
3(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)
＜0；
∵-1＜x1＜x2，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）假設(shè)x0是方程f（x）=0的負(fù)數(shù)根，且x0≠-1，則ax0+
x0-2
x0+1
=0，
即ax0=
2-x0
x0+1
=
3-(x0+1)
x0+1
=
3
x0+1
-1，①
當(dāng)-1＜x0＜0時(shí)，0＜x0+1＜1，∴
3
x0+1
＞3，
∴
3
x0+1
-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
當(dāng)x0＜-1時(shí)，x0+1＜0，∴
3
x0+1
＜0，∴
3
x0+1
-1＜-1，而ax0＞0．
∴①式不成立．綜上所述，方程f（x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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