Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若存在x∈[

π

4

，

π

2

]，使不等式|f（x）-m|≤2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先通過二倍角公式的變形及輔助角公式，把函數(shù)化簡為一個角的三角函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)的最大與最小值，
（2）由|f（x）-m|≤2可得f（x）-2≤m≤f（x）+2，從而采用分類參數(shù)的方法可得f（x）-2≤m≤f（x）+2，而由x∈[

π

4

，

π

2

]可求f（x）的范圍，代入可求 m的范圍．

解答：解：（1）f（x）=1-cos（2x+

π

2

）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin（2x-

π

3

），
x∈[

π

4

，

π

2

]，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π
∴當(dāng)x=

π

4

時，f（x）取最小值2；
當(dāng)x=

5

12

π時，f（x）取最大值3．
（2）由|f（x）-m|≤2
即f（x）-2≤m≤f（x）+2
由2≤f（x）≤3，由存在x使|f（x）-m|≤2，
∴所求m的取值范圍是[0，5]．

點(diǎn)評：（1）輔助角公式一直是三角函數(shù)化簡中的一個重要的公式，常結(jié)合二倍角及和差角公式對函數(shù)化簡然后研究三角函數(shù)的性質(zhì)（2）注意正弦函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．