已知四棱錐的三視圖和直觀圖如下圖所示,其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形,俯視圖是有一條對角線的正方形.
是側(cè)棱
上的動點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若為
的中點(diǎn),求直線
與平面
所成角的正弦值.
(1)參考解析;(2);(3)
解析試題分析:(1)要證明,要轉(zhuǎn)到線面垂直,通過觀察需證明
平面
.所以要證明
垂直于平面兩條相交直線,顯然
,
.從而可得結(jié)論.
(2)要求直線與平面
所成角的正弦值,需要找到直線與平面所成的角.通過證明平面
平面
.即可得到點(diǎn)E到平面
的投影在PO(O是AC與BD的交點(diǎn))上.這樣就可以求出直線與平面所成的角,再通運(yùn)算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標(biāo)系來求.
(3)若四點(diǎn)在同一球面上,求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補(bǔ)齊為一個(gè)長方體.外接球的直徑就是長方體的對角線長.即可求結(jié)論.
試題解析:(1)證明:由已知,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0c/e/fsgmg2.png" style="vertical-align:middle;" />,
(2)解法一:連AC交BD于點(diǎn)O,連PO,由(1)知則
,
為
與平面
所成的角.
,
則
法二:空間直角坐標(biāo)法,略.
(3)解:以正方形為底面,
為高補(bǔ)成長方體,此時(shí)對角線
的長為球的直徑,
,
.
考點(diǎn):1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補(bǔ)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,菱形的邊長為2,
為正三角形,現(xiàn)將
沿
向上折起,折起后的點(diǎn)
記為
,且
,連接
.
(1)若為
的中點(diǎn),證明:
平面
;
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐中,底面
是菱形,
,
,
,
,
,
是
的中點(diǎn),
上的點(diǎn)
滿足
.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是BC的中點(diǎn),AA'=AB=2
(1)求證:ADB'D;
(2)求三棱錐A'-AB'D的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知半徑為的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體(即正方體的頂點(diǎn)都在球面上).
(1)求此球的體積;
(2)求此球的內(nèi)接正方體的體積;
(3)求此球的表面積與其內(nèi)接正方體的全面積之比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M在線段EC上.
(I)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí),求證: 面
;
(II)求證:平面BDE丄平面BEC;
(III)若平面說BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時(shí),求三棱錐M-BDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形,側(cè)視圖是一個(gè)長為,寬為1的矩形,俯視圖為兩個(gè)邊長為1的正方形拼成的矩形.
(1)求該幾何體的體積V;
(2)求該幾何體的表面積S.
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