Question

13．已知定點A（0，-1），點B在圓F：（x-1）²+y²=16上一運動，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由題意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根據橢圓的定義可求得動點P的軌跡E的方程

解答 解：由題意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓．
設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1（a＞b＞0），
則2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴點P的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查橢圓的定義和幾何性質，以及點圓位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．