Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ(0＜θ＜

π

2

)．
（1）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（2）當(dāng)角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍．

Answer 1

分析：解法一（幾何法）（1）由已知中AC=BC，D是AB的中點，由等腰三角形三線合一，可得CD⊥AB，又由VC⊥底面ABC，由線面垂直的性質(zhì)可得VC⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）過點C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，連接BH，可得∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角，設(shè)∠CBH=φ，根據(jù)CH=

2

2

asinθ=asinφ，易得到直線BC與平面VAB所成角的取值范圍．
解法二（向量法）（1）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分析求出

AB

，

CD

，

VD

易得根據(jù)向量數(shù)量積為0，得到CD⊥AB，VC⊥AB，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）令直線BC與平面VAB所成的角為φ，求出平面VAB的一個法向量和

BC

，由向量夾角公式，易得到sin?=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

2

2

sinθ，進而得到直線BC與平面VAB所成角的取值范圍．

解答：解：法一（幾何法）：
證明：（1）∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又D是AB的中點∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
解：（2）過點C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，連接BH
則由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．
在Rt△CHD中，CD=

2

2

a，CH=

2

2

asinθ；
設(shè)∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴

2

2

sinθ=sinφ∵0＜θ＜

π

2

∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

又0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為(0，

π

4

)．
法二（向量法）：
證明：（1）以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(

a

2

，

a

2

，0)，V(0，0，

2

2

atanθ)，
于是，

VD

=(

a

2

，

a

2

，-

2

2

atanθ)，

CD

=(

a

2

，

a

2

，0)，

AB

=(-a，a，0)．
從而

AB

•

CD

=(-a，a，0)•(

a

2

，

a

2

，0)=-

1

2

a2+

1

2

a2+0=0，即AB⊥CD．
同理

AB

•

VD

=(-a，a，0)•(

a

2

，

a

2

，-

2

2

atanθ)=-

1

2

a2+

1

2

a2+0=0，
即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．
解：（2）設(shè)直線BC與平面VAB所成的角為φ，平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z），
則由n•

AB

=0，n•

VD

=0．
得

-ax+ay=0 a 2 x+ a 2 y- 2 2 aztanθ=0

可取n=(1，1，

2

cotθ)，又

BC

=(0，-a，0)，
于是sinφ=|

n• BC

|n|•| BC |

|=

a

a• 2+2cot2θ

=

2

2

sinθ，
∵0＜θ＜

π

2

，∴0＜sinθ＜1，0＜sinφ＜

2

2

．
又0≤φ≤

π

2

，∴0＜φ＜

π

4

．
即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為(0，

π

4

)．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中方法一（幾何法）的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化，方法二（向量法）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間線線關(guān)系、線面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．