Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)．
①求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
②若x∈[

π

4

，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最大值及取最大值時對應的x值．

Answer 1

分析：①兩角和差的正弦公式和二倍角公式，化簡函數(shù)的解析式為 2sin（2x-

π

3

）+1，股周期 T=

2π

2

，
由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

 可得x的范圍，即為所求．
②由

π

4

≤x≤

π

2

 得，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，故當2x-

π

3

=

π

2

，函數(shù)有最大值．

解答：解：①函數(shù)f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)=

3

sin（2x-

π

6

）+2

1-cos(2x- π 6 )

2

=

3

sin（2x-

π

6

）-cos（2x-

π

6

）+1=2sin（2x-

π

3

）+1，∴T=

2π

2

=π．
由  2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

 可得   kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為
[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
②由

π

4

≤x≤

π

2

 得，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，故當2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5

12

π時，
f（x）max=31．

點評：本題考查兩角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的應用，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，是解題的難點．