Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），則滿足條件的最小的正實數(shù)a是________．

Answer 1

36
分析：取x∈（2^m，2^m+1），則 ∈（1，2]；f（ ）=2-，從而f（x）=2^m+1-x，根據(jù)f（2020）=f（a）進行化簡，設(shè)a∈（2^m，2^m+1）則f（a）=2^m+1-a=28求出a的取值范圍．
解答：取x∈（2^m，2^m+1），則 ∈（1，2]；f（ ）=2-，從而
f（x）=2f（ ）=…=2^mf（ ）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
f（2020）=2¹⁰f（）=2¹¹-2020=28=f（a）
設(shè)a∈（2^m，2^m+1）則f（a）=2^m+1-a=28
∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1）
即m≥5即a≥36
∴滿足條件的最小的正實數(shù)a是36
故答案為：36
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，同時考查了計算能力，分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．