Question

已知直線l：y=kx+m交拋物線C：x²=4y于相異兩點A，B．過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線交于M點．
（I）若M（2，-1），求直線l的方程；  （Ⅱ）若|AB|=4，求△ABM面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出兩個切點的坐標(biāo)，利用函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線的斜率，求出兩條切線的方程，聯(lián)立得到交點坐標(biāo)即為M，列出方程得到k=，m．
（II）將直線的方程代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式表示出|AB|，利用三角形的面積公式將三角形的面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，通過求函數(shù)的最大值得到三角形的最大值．
解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則
∵，
∴
∴切線方程：
兩式聯(lián)立且有，
可得①
將y=kx+m代入x²=4y得x²-4kx-4m=0
由題可知△=16（k²+m）＞0且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m
∴x=2k，y=-2m
即M（2k，-2m）
當(dāng)M（2，-1）時，則2k=2，-2m=-1
∴k=1，m=
∴直線l的方程為y=x+
（Ⅱ）∵
∴M到AB的距離為∴
△ABM面積
當(dāng)k=0時，△ABM面積的最大值為4．
點評：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理來找突破口．