Question

4．如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點．
（Ⅰ）若弧BC的中點為D．求證：AC∥平面POD；
（Ⅱ）如果△PAB面積是9，求此圓錐的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證法1：設(shè)BC∩OD=E，由已知可證AC∥OE，線線平行即可證明線面平行AC∥平面POD；證法2：由AB是底面圓的直徑，可證AC⊥BC，利用OD⊥BC，可證AC∥OD，即可判定AC∥平面POD．
（Ⅱ）設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，由圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，可求$h=r，l=\sqrt{2}r$，利用三角形面積公式可求r，進(jìn)而可求此圓錐的表面積．

解答 解：（Ⅰ）證法1：設(shè)BC∩OD=E，∵D是弧BC的中點，
∴E是BC的中點，
又∵O是AB的中點，∴AC∥OE，
又∵AC?平面POD，OE?平面POD，
∴AC∥平面POD．
證法2：∵AB是底面圓的直徑，∴AC⊥BC，
∵弧BC的中點為D，∴OD⊥BC，
又AC，OD共面，∴AC∥OD，
又AC?平面POD，OD?平面POD，
∴AC∥平面POD．
（Ⅱ）解：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，
∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，
∴$h=r，l=\sqrt{2}r$，
∵由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2r×h={r^2}=9$，得r=3，
∴${S_表}=πrl+π{r^2}=πr×\sqrt{2}r+π{r^2}=9（{1+\sqrt{2}}）π$．

點評 本題主要考查了線面平行的判定，考查了三角形面積公式，考查了圓錐的表面積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．