已知三棱錐P-ABC是正三棱錐,求證:
(1)它的各個(gè)側(cè)面與底面所成的角相等;
(2)正三棱錐底面積與側(cè)面積S之比是各個(gè)側(cè)面與底面所成角的余弦值.
證明:因三棱錐P-ABC是正三棱錐,故頂點(diǎn)P在底面上的射影O是底面正△ABC的中心,連結(jié)AO、BO、CO,并延長(zhǎng)分別交對(duì)邊于D、E、F三點(diǎn). (1)∵△ABC是正三角形, ∴AD⊥BC,OD=OE=OF. 又∵PO⊥BC,∴BC⊥面PAD.∴BC⊥PD. ∴∠PDA就是側(cè)面PBC與底面ABC所成二面角的平面角. 同理,∠PEB、∠PFC分別是另兩個(gè)側(cè)面與底面所成二面角的平面角. 可證得Rt△PFO≌Rt△PDO≌Rt△PEO, ∴∠PEB=∠PFC=∠PDA,即結(jié)論(1)成立. (2)由∠PEB=∠PFC=∠PDA, ∴cos∠PEB=cos∠PFC=cos∠PDA, 即cos∠PEB=. ∴cos∠PEB=.∴結(jié)論(2)成立. 解析:(1)本題首先要作出各個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角.以側(cè)面PBC為例,取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)PD、AD,則易證BC⊥PD,BC⊥AD.從而∠PDA就是側(cè)面PBC與底面ABC所成二面角的平面角.(2)注意側(cè)面△PBC與其在底面上的投影△OBC是底邊相等的三角形,且它們的高同在Rt△PDO中,且比例恰為側(cè)面與底面所成角的余弦值,從而易得其面積的比例關(guān)系. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆浙江省寧波萬(wàn)里國(guó)際學(xué)校高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分14分)已知三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN, M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年甘肅省高三百題集理科數(shù)學(xué)試卷(解析版)(四) 題型:解答題
已知三棱錐P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(遼寧卷)理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
已知三棱錐P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011年重慶市高二下學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué) 題型:選擇題
已知三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,PA=PB=2PC=2a,且三棱錐外接球的表面積為S=9π,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A. B.2 C. 1 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011年重慶市高二下學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型:選擇題
已知三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,PA=PB=2PC=2a,且三棱錐外接球的表面積為S=9π,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A. B.2 C. D. 1
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