Question

已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，開口向左，且拋物線上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)的最小距離為，拋物E與直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線E的方程；
（2）當(dāng)△OAB的面積等時(shí)，求k的值．

Answer 1

解：（1）由題意得，∴p=，∴拋物線E的方程y²=-x；
（2）由方程組消去x后，得ky²+y-k=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=-，y₁y₂=-1，
∴|AB|=，h=d=，
∴S==，
∴k=．
分析：（1）由題意設(shè)：拋物線方程為y²=-2px，其拋物線上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)的最小距離為，可得，進(jìn)而得到p，從而得出拋物線E的方程．
（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程得ky²+y-k=0，再結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式，結(jié)合△OAB的面積列出方程，可得k的值．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．