已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左右焦點(diǎn)，|F1F2|=2
3
，且離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l和橢圓交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線l，使得△OAF2與△OBF2的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用焦距概念和離心率公式，從而求出參數(shù)a、b、c，得到橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在，將條件中的面積比轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，得到兩點(diǎn)縱坐關(guān)系，再通過(guò)直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，從而求出參數(shù)k，得到直線l的方程，說(shuō)明其存在性．
解答： 解：（1）由于|F1F2|=2
3
，且離心率e=
3
2
，
則c=
3
，
c
a
=
3
2
，即有a=2，b=
a2-c2
=1，
則橢圓方程為
x2
4
+y2=1；

（2）假設(shè)存在直線l，使得△OAF2與△OBF2的面積比值為2．
則∵△OAF2與△OBF2的面積比值為2，
∴由三角形的面積公式可得，AF2：BF2=2，
則
AF2
=2
F2B
，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則（
3
-x1，-y1）=2（x2-
3
，y2），
∴y1=-2y2   ①
設(shè)直線l的方程為x=ky+
3
，
由
x2+4y2=4
x=ky+
3
，得到（k2+4）y2+2
3
ky-1=0，
則y1+y2=-
2
3
k
k2+4
  ②
y1y2=-
1
4+k2
   ③
由①②③得k=±
2
23
23
，
因此存在直線l：x=±
2
23
23
y+
3
，
使得△OAF2與△OBF2的面積比值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積公式、橢圓的焦距和離心率公式、韋達(dá)定理，以及化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，有一定的探索性，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC上一點(diǎn)，且PE=
1
2
EC，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且AF=2FB，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若Q為側(cè)棱PC中點(diǎn)，求二面角Q-BD-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)y=loga（x+b）+2，（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（3，2），則實(shí)數(shù)b的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)r（x）=ax2-（2a-1）x+b（a，b為常數(shù)，a∈R，a≠0，b∈R）的一個(gè)零點(diǎn)是2-
1
a
．函數(shù)g（x）=lnx，設(shè)函數(shù)f（x）=r（x）-g（x）．
（Ⅰ）求b的值，當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[
1
2
，1]上的最小值；
（Ⅲ）記函數(shù)y=f（x）圖象為曲線C，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)N．判斷曲線C在點(diǎn)N處的切線是否平行于直線AB？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x（1+x）2，x∈（-∞，0]，
（1）求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）對(duì)任意的a＜0，以F（a）記f（x）在[a，0]上的最小值，求k=
F(a)
a
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+2，x∈[-4，6]
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-4，6]上是單調(diào)函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且PF=6，點(diǎn)M為PF的中點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)度為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后，形成的幾何體的平面展開圖的一部分如圖1所示．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D2上補(bǔ)畫出該幾何體的直觀圖，并求出被截去的三棱錐的體積；
（Ⅱ）在該幾何體的直觀圖中連結(jié)CD′，求證：CD′⊥AF；
（Ⅲ）在該幾何體中求平面AFG與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

完成一項(xiàng)裝修任務(wù)，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)所請(qǐng)木工x人，瓦工y人，寫出關(guān)于x，y的二元一次不等式組為
 
．

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