Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得在此兩點處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)“定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的圖象關(guān)于原點對稱“得出奇偶性，再判斷b，d的值，再有在1處的極值求出a，c．
（Ⅱ）用假設(shè)法證明．對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x軸上存在滿足條件的點C（x₀，0），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出不等關(guān)系，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）因為圖象關(guān)于原點對稱，所以f（x）為奇函數(shù)，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由題意得

f(1)=a+c=- 2 5 f′(1)=3a+c=0

，
解得 a=

1

5

，c=-

3

5

所以f（x）=

1

5

x 3-

3

5

x．
（II）不存在．
證明：假設(shè)存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因為x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．

點評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)奇偶性對應(yīng)的奇數(shù)次項系數(shù)的值以及偶數(shù)次項系數(shù)的值，考查反證法的使用，考查兩數(shù)之間最值之差最大，為中等題，