Question

現(xiàn)有流量均為300m³/s的兩條河流A，B匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2kg/m³和0.2kg/m³．假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，兩股水流在流往相鄰兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒內(nèi)交換100m³的水量，其交換過程為從A股流入B股100m³的水量，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100m³水并混合，問從第幾個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m³．（不考慮泥沙沉淀）．

Answer 1

分析：我們?cè)O(shè)第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A股水流含沙量為a_n，B股水流含沙量為b_n．由已知我們易得{a_n-b_n}是以a₁-b₁為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后，構(gòu)造不等式，解不不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)第n個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A股水流含沙量為a_nkg/m³，B股水流含沙量為b_n．
a_n=

1

300

(200an+100bn)=

1

4

(3an-1+bn-1)
即：a_n-b_n=

1

2

（a_n-1-b_n-1）
∴{a_n-b_n}是以a₁-b₁為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
a_n-b_n=1.8•(

1

2

)n-1
解不等式1.8•(

1

2

)n-1＜10^-2
得2^n-1＞180，又由n正整數(shù)，
∴n≥9
因此，從第9個(gè)觀測(cè)點(diǎn)開始，兩股水流含沙量之差小于0.01kg/m3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的概念，不等式的解法，及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．在求數(shù)列的通項(xiàng)公式過程中，我們要分析數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，盡可能將數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列（等差、等比），在解不等式時(shí)，我們要結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合n的實(shí)際意義進(jìn)行解答．