Question

5．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a+2t\\ y=1-t\end{array}\right.$．
（1）若直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a；
（2）若點(diǎn)P，Q分別為直線l與曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，若${|{PQ}|_{min}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求實(shí)數(shù)a．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程求出曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，由直線l的參數(shù)方程求出直線l的普通方程為x+2y-a-2=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x+2y-a-2=0}\end{array}\right.$，得16y²-（12a+24）y+3a²+12a=0，由直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用根的判別式為0，能求出a．
（2）設(shè)Q（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），求出點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4sin（$θ+\frac{π}{6}$）-a-2|，由題意知當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{6}$）=1時(shí)，|PQ|_min=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|2-a|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出a．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=a+2t\\ y=1-t\end{array}\right.$，
∴直線l的普通方程為x+2y-a-2=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x+2y-a-2=0}\end{array}\right.$，得16y²-（12a+24）y+3a²+12a=0，
∵直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=[-（12a+24）]²-4×16×（3a²+12a）=-a²-4a+12=0，
解得a=2或a=-6．
（2）設(shè)Q（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
點(diǎn)Q到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-a-2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4sin（$θ+\frac{π}{6}$）-a-2|，
∵點(diǎn)P，Q分別為直線l與曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，${|{PQ}|_{min}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{6}$）=1時(shí)，|PQ|_min=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|2-a|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得a=1或a=3．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．