Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， 是等腰直角三角形， ，側(cè)棱， 分別為與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心.

（1）求證： 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）求證直線DE平行于平面ABC，可利用線面平行的判定定理，因此想到在平面ABC內(nèi)找到一條與DE平行的直線即可，根據(jù)E為A1B的中點(diǎn)，所以可取AB的中點(diǎn)F，根據(jù)三角形中位線知識(shí)證出四邊形DEFC為平行四邊形，從而得到DE∥CF，則問題得證；
（2）連接DF，在平面EFD內(nèi)過E作EH⊥DF于H，通過證明AB垂直于平面EFD得到AB⊥EH，從而說明EH垂直于平面ABD，得到∠EBH為A1B與平面ABD所成角，在直角三角形EHB中可求該角的正弦值．

試題解析：

（1）證明：如圖,取AB中點(diǎn)F,連接EF,FC,

又因?yàn)?/span>E為的中點(diǎn)，所以EF∥A,EF=12A，又DC∥A,DC=12A

所以四邊形DEFC為平行四邊形則ED∥CF，

因?yàn)?是等腰直角三角形， ，所以CF垂直于AB，又CF垂直于A，

所以CF 面，所以ED 面.

（2）取中點(diǎn)，連,在內(nèi)作于點(diǎn),

由相似三角形知識(shí)求出

, , 與平面所成的角為,

.