Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為

3

3

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F是橢圓在y軸正半軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是拋物線x²=4y上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足

AF

=λ

FB

 (λ＞0)，過點(diǎn)A，B分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M，試推斷

FM

•

AB

是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求橢圓方程，只需找到含a，b，c的3個(gè)等式即可，因?yàn)闄E圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由離心率為

3

3

，可得

c

a

=

3

3

，由以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=x+2相切可得b=

2

1+1

=

2

，再由a²=b²+c²，可求出a，b，c，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）先設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

AF

=λ

FB

，得A，B坐標(biāo)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求過A，B 點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立求交點(diǎn)M坐標(biāo)，計(jì)算

FM

•

AB

的值，如能求出，則存在，如不能求出，則不存在．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．（1分）
因?yàn)?span id="b22l3kq" class="MathJye">e=

3

3

，得

b2

a2

=

2

3

．又b=

2

1+1

=

2

，則b²=2，a²=3．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2

3

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）由橢圓方程知，c=1，所以焦點(diǎn)F（0，1），設(shè)點(diǎn)
由

AF

=λ

FB

，得（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），所以-x₁=λx₂，1-y₁=λ（y₂-1）．
于是x₁²=λ²x₂²．因?yàn)閤₁²=4y₁，x₂²=4y₂，則y₁=λ²y₂．
聯(lián)立y₁=λ²y₂和1-y₁=λ（y₂-1），得y₁=λ，y₂=

1

λ

．
因?yàn)閽佄锞�方程為y=

1

4

x²，求導(dǎo)得y′=

1

2

x．設(shè)過拋物線上的點(diǎn)A、B的切線分別為l₁，l₂，則
直線l₁的方程是y=

1

2

x₁（x-x₁）+y₁，即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²．
直線l₂的方程是y=

1

2

x₂（x-x₂）+y₂，即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²．
聯(lián)立l₁和l₂的方程解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．
因?yàn)閤₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-4．所以點(diǎn)M(

x1+x2

2

，-1)．
于是

FM

=(

x1+x2

2

，-2)，

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）．
所以

FM

•

AB

=

x 2 2 - x 2 1

2

-2(y2-y1)=

1

2

（x₂²-x₁²）-2（

1

4

x₂²-

1

4

x₁²）=0．
故

F2M

•

AB

為定值0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，以及直線與橢圓關(guān)系的判斷，題型有代表性，認(rèn)真解答．