Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4且${a_n}=3{a_{n-1}}+{3^n}-2（n≥2，n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{{{a_n}-1}}{3^n}}\right\}$為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n-1}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對${a_n}=3{a_{n-1}}+{3^n}-2$兩邊同時減1、然后同時除以3ⁿ，整理可知$\frac{{{a_n}-1}}{{3{\;}^n}}-\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{3^{n-1}}}}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，進而可知數(shù)列$\left\{{\frac{{{a_n}-1}}{3^n}}\right\}$是首項、公差均為1的等差數(shù)列；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）知${a_n}-1=n•{3^n}$，進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵${a_n}=3{a_{n-1}}+{3^n}-2$，
∴${a_n}-1=3{a_{n-1}}+{3^n}-3=3（{a_{n-1}}-1）+{3^n}$，
∴$\frac{{{a_n}-1}}{{3{\;}^n}}=\frac{{3（{a_{n-1}}-1）+{3^n}}}{3^n}=\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{3^{n-1}}}}+1$，
∴$\frac{{{a_n}-1}}{{3{\;}^n}}-\frac{{{a_{n-1}}-1}}{{{3^{n-1}}}}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，
又∵$\frac{{a}_{1}-1}{{3}^{1}}$=$\frac{4-1}{3}$=1，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{{{a_n}-1}}{3^n}}\right\}$是首項、公差均為1的等差數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：$\frac{{{a_n}-1}}{3^n}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a_n}-1=n•{3^n}$，
∴${S_n}=1×{3^1}+2×{3^2}+…+n•{3^n}$，
$3{S_n}=\;\;1×{3^2}+2×{3^3}+…+n•{3^{n+1}}$，
兩式相減得：$2{S_n}=n•{3^{n+1}}-（{3^1}+{3^2}+…+{3^n}）$
=$n•{3^{n+1}}-\frac{{{3^n}×3-3}}{3-1}=n•{3^{n+1}}-\frac{{{3^{n+1}}}}{2}+\frac{3}{2}$，
∴${S_n}=\frac{{n•{3^{n+1}}}}{2}-\frac{{{3^{n+1}}}}{4}+\frac{3}{4}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．